By Robert Sauer

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der artwork dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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2) stetige Ableitungen besitzen, geht durch jeden Punkt x, y, I des in Frage stehe'nden Raumbereichs nach bekannten Satzen tiber gewohnliche Differentialgleichungen genau eine Charakteristik. Die Charakteristiken c bilden also eine 2-parametrige Menge. Ihre Grundrisse c' in der x, y-Ebene nennen wir Grundcharakteristiken. Da die unabhangige Veranderliche s in den GIn. 2) tritt also bei s als unwesentliche additive Konstante auf. Der Parameter s bedeutet natiirlich im allgemeinen nicht die Bogenlange der Integralkurven.

Anfangs- und Randwertaufgaben bei Differenzengleichungen 29 Dabei ist (n = Anzahl der Quadratseiten auf PR), wie aus der SCHwARZschen Ungleichung mit b. = 1 folgt. 13) hat man dann schlieBlich IIk(Q) - Ik(P) I < 2M lis ~ 2M Vd = 8 fUr s ~ d, d. h. d = 8 2/4 M2 ist nur von 8, nicht aber von h abhangig, w. z. b. w. Infolge der gleichartigen Stetigkeit der Gitterfunktionen Ik und der Beschranktheit der Anfangsdaten kann man nach dem "Haufungsstellenprinzip"l aus der Folge der Gitterfunktionen eine Teilfolge herausgreifen, die gleichmaBig gegen eine Grenzfunktion I (x, y) konvergiert.

1) in der Umgebung von x = y = 0 genau eine analytische Losung I = I (x, y), welche fUr y = 0 den Anfangsbedingungen l(x,O) = lo(x), Iv(x, 0) = 11(X) . 2) geniigt; dabei ist zur Abkiirzung Iz = p, Iv = q, Izx = Y, Izv = s, I'Y'Y = t gesetzt. 3). Der Existenzsatz laBt sich erheblich verallgemeinernl, einerseits auf Systeme von Differentialgleichungen und andererseits auf Anfangswertprobleme, bei denen die Anfangsdaten statt fUr y = 0 fUr eine beliebige analytische Kurve, die von keiner Charakteristik (vgl.

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